Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M0(1,4) в направлении...

Question

Дан 1 ответ

qwaaq_zn · Answer 1 · 2020-05-30T09:52:37+0000

Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством

Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность

$\{ x,y,x \cdot e^y\}$

Точке (1,4) соответствует $z=e^4$ , т.е. точка $(1,4,e^4)$ (*)

Линию $xy=4$ удобнее записать как трехмерную кривую $\{ x,y(x),e^4\}$ , что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1

Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке $(1,4,e^4)$ , в качестве параметра берем переменную x

$\{x,4-4(x-1),e^4\}$ (#)

(вычисляется по аналогии с $\overset{\rightharpoonup }{r}(t)-\overset{\rightharpoonup }{r}(t_0)=\frac{d}{dt} \overset{\rightharpoonup }{r}(t_0) \cdot (t-t_0)$ )

В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.

Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:

Пусть x=0, тогда из (#) получим точку $(0,8,e^4)$

Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид

$\overset{\rightharpoonup }{n} = \{-1,4,0\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} }$

Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как

$\overset{\rightharpoonup }{n} = \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} }$

И, наконец, найдем искомую производную:

$grad[z(M_0)]\cdot\overset{\rightharpoonup }{n}=\left\{e^4,1 \cdot e^4\right\} \cdot \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} } = \frac{3 e^4}{\sqrt{17}} \approx 39.726$