Пусть есть три точки: А, В и С.
Для начала определимся, при каком условии разность отрезков АС и ВС будет максимальной. Если точки не лежат на одной прямой, то по теореме о неравенстве треугольника ВСЕГДА справедливо неравенство:
АС< ВС+АВ или (АС - ВС) <АВ. Следовательно, чтобы эта разность (уточним: МОДУЛЬ разности) была максимальной, эти три точки должны лежать на одной прямой и тогда</p>
|АС-ВС| = АВ.
Рассмотрим теперь наш случай. Имеется прямая "с" и две произвольные точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой. Построим точку В1, симметричную точке В относительно прямой "с". Эта точка будет лежать на перпендикуляре к прямой "с" на расстоянии, равном расстоянию от точки В до этой прямой. (смотри рисунок). Таким образом, прямая "с" - это серединный перпендикуляр к отрезку ВВ1 и любая точка на этой прямой равноудалена от точек В и В1. Значит разность между отрезками АС и ВС равна разности между отрезками АС и В1С. По условию максимальности этой разности (определенному выше) точки А, В1 и С должны лежать на одной прямой.
Проводим через точки А и В1 прямую до пересечения с прямой "с" и отмечаем в месте пересечения точку "С". Это и есть искомая точка.
