Помогите решить два дифференциальных уравнения

Ответ:

1) $y=\frac{x^3}{3}-x+C,\,\, C=Const$ - это общее решение

А частное решение равно

$y=\frac{x^3}{3}-x+4\frac{2}{3}$

2) y=C₁eˣ+C₂xeˣ, где C₁=Const и C₂=Const.

Пошаговое объяснение:

1) Проинтегрируем обе части уравнения

$y=\int (x^2-1)\, dx$

$y=\frac{x^3}{3}-x+C,$ где C=const

Теперь подставим х=1 и у=4, чтобы найти С.

$4=\frac{1^3}{3}-1+C$

$4=-\frac{2}{3}+C$

$C=4+\frac{2}{3}$

$C=4\frac{2}{3}$

$y=\frac{x^3}{3}-x+4\frac{2}{3}$

2) Решим характеристическое уравнение

λ²-2λ+1=0

(λ-1)²=0

λ₁,₂=1 - то есть двойной корень.

Так как решения должны быть линейно независимы, первым решением будет C₁eˣ, а вторым решением будет линейно независимый с первым C₂xeˣ.

Общее решение будет выглядеть так:

y=C₁eˣ+C₂xeˣ, где C₁=Const и C₂=Const.