Помогите, пожалуйста, решить задачу: Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения...

Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки 48 см и 27 см. Найти диагонали ромба.

Answer 1

Дано: ABCD, AB = BC= CD = AD. AC∩BD = O, OK⊥AD. KD =27, AK = 48.

Найти AC и BD

Решение.

1) ΔAOD-прямоугольный. ОК - высота в этом треугольнике.

ОК² = AK* KD

OK² = 48 * 27,  OK = √ (48*27) =36

2) ΔOKD

по т. Пифагора   OD² = 27² + 36² = 729 + 1296=2025, ⇒ OD = √2025 = 45

( это половина BD)

BD = 90

3) ΔAOK

По т. Пифагора АО² = 48² + 36² = 2304 + 1296= 3600

АО = √3600 = 60 ( это половина АС)

АС = 120

Comments

729 + 1296=2025, ⇒ OD = √2025 =45

Answer 2

Пусть дан ромб АВСД. Диагонали ромба АС и ВД при пересечении делятся попалам и пересекаются под прямым углом. Точкой пересечения пусть будет точка О. Пусть опущен перпендикуляр на сторону АД из точки О и образует точку Е. Рассмотрим треугольник АОД. Он прямоугольный, угол АОД=90, половины диагоналей являются катетами, а сторона ромба-гипотенуза. Высота прямоугольного треугольника проведенная  из вершины прямого угла,есть среднее пропорциональное для отрезков на которые делится гипотенуза этой высотой,т.е. ОЕ=корень квадратный из 48*27=36см. Перпендикуляр делит треугольник АОД на два прямоугольных треугольника АЕО и ДЕО. Из треугольника АЕО по теореме Пифагора найдем половину первой диагонали,т.е. сторону АО. АО=корень квадратный из AE^2+OE^2=

=корень квадратный из  2304+1296=60см. Раз половина первой диагонали равна 60,то вся диагональ,т.е. АС=120см. Теперь так же по теореме Пифагора найдем половину другой диагонали из треугольника ДЕО. ОД=корень квадратный из OE^2+EД^2=корень квадратный из 729+1296=45см, тогда вся диагональ ВД=90см.