.Помогите решить интегралы ..

Ответ:

$\int\limits{sin^4x} \, dx=\frac{1}{4}(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{si4x}{8})+C$

$\int\limits {\frac{dx}{cos^2x(3tgx+1)}}=\frac{1}{3}ln|3tgx+1|+C$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits{sin^4x} \, dx=\int\limits{(sin^2x)^2} \, dx=\int\limits{(\frac{1-cos2x}{2}})^2 \, dx=\frac{1}{4}\int\limits{(1-cos2x)^2} \, dx=$

$=\frac{1}{4}\int\limits{(1-2cos2x+cos^22x)} \, dx=\frac{1}{4}\int\limits{(1-2cos2x+\frac{1+cos4x}{2} )} \, dx=$

$=\frac{1}{4}\int\limits{(\frac{3}{2} -2cos2x+\frac{cos4x}{2} )} \, dx=\frac{1}{4}(\int\limits{\frac{3}{2} } \, dx-2\int\limits{cos2x} \, dx+\int\limits{\frac{cos4x}{2} } \, dx)=$

$=\frac{1}{4}(\frac{3}{2} }x-2\cdot\frac{1}{2}sin2x+\frac{sin4x}{4\cdot2})+C=$

$=\frac{1}{4}(\frac{3}{2} }x-sin2x+\frac{sin4x}{8})+C$

$\int\limits {\frac{dx}{cos^2x(3tgx+1)}}= \begin{vmatrix}t=tgx\\dt=1/cos^2x\end{vmatrix}=\int\limits{\frac{dt}{3t+1} }=\frac{1}{3}\int\limits{\frac{d(3t+1)}{3t+1} } =\frac{1}{3}ln|3t+1|+C=\frac{1}{3}ln|3tgx+1|+C$