Сложим 1,3 ,а так же 2 и 4 выражение:
Упростим:1)+3)
(sin(4pi/15)-sin(pi/15))/sin(4*pi/15)*sin(pi/5)=
2*sin(pi/10)*cos(pi/6)/(1/2*(cos(pi/5)-cos(pi/3))=2*sqrt(3) * (sin(pi/10))/(cos(pi/5)-1/2) (использована формула разности и произведения синусов)
Абсолютно аналогично упрощаем 2)+4):
2*sqrt(3)*(cos(pi/5))/(сos(2*pi/5)+1/2)
и вот самое непростое. Необходимо доказать что:
sin(pi/10)/(cos(pi/5)-1/2) +cos(pi/5)/(cos(2*pi/5)+1/2) =2
Пусть sin(pi/10)=t
сos(pi/2-2*pi/5)=cos(3*pi/5)=sin(2*pi/5)
используя формулу двойного и
тройного угла получим:
1-2t^2=3t-4t^3
4t^3-3t-2*t^2+1=0
(t-1)*(4*t^2+2*t+1)=0
t=1 не подходит
4*t^2+2t-1=0
4t^2=-2t+1
2*(1-cos(pi/5))=-2t+1 (понижение степени)
2-2*cos(pi/5)=-2t+1
сos(pi/5)=t+ 1/2
cos(2pi/5)=sin(pi/2-2*pi/5)=sin(pi/10)=t
Тогда можно упростить данное выражение:
t/(t+1/2 -1/2)+ (t+1/2)/(t+1/2)=2
Что и требовалось доказать