тангенса суммы аргументов :
tg(α+β)=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
(1)
тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
(2)
Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т.е. выполняются условия:
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
,
α+β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (1),
α−β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (2),
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике - особенно, в радиотехнике.
Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенс и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.
Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на
cosα⋅cosβ
,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и, что
cosα⋅cosβ≠0
из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т.е.
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
. Тогда:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается формула тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
sin(α−β)
cos(α−β)
=
sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
.