** доске записаны числа 1,2,...,25.За ход нужно стерет 3 некоторых числа а,в,с написанных...

Question

На доске записаны числа 1,2,...,25.За ход нужно стерет 3 некоторых числа а,в,с написанных на доске изаписать вместо него число а^{3} + в^{3}+ с^{3}.Докажите ,что последнее оставшееся число не может быть равно 2013

^{3

Answer 1

На каком-то этапе надо заменить тройку чисел (13, x, y) суммой133 + x3 + y3 = 2197 + x3 + y3 = p   Отсюда ясно, что p > 2197             (*).После этого придется менять тройку чисел (p, m, n) суммойp3 + m3 + n3. Но если (см. *) p > 2197, то p3 > 21973 > 20133.Если это произошло не на последнем этапе, то равенство уже не выполняется.Тем более, последнее оставшееся число больше, чем 20133, значит, равным ему быть не может.