Докажите, что число ((11^2019)+(19^2019)) делится ** 3 и ** 5

Question

Докажите, что число ((11^2019)+(19^2019)) делится на 3 и на 5

Answer 1

есть такая формула для НЕЧЕТНОЙ степени (для четной степени это неправильно)

a^(2n-1) + b^(2n-1) = (a + b)(a^(2n-2) - a^(2n-3)*b + a^(2n-4)b^2 - .... - a*b^(2n-3) + b^(2n-2))

доказывается обычным перемножением

11^2019 + 19^2019 = (11 + 19)*(11^2018 +...... 19^2018) = 30*(......)

30 делится и на 3 и на 5 значит и все произведение делится на 3 и на 5

Answer 2

11 в любой степени кончается на 1. 19 в нечетной степени кончается на 9.

Их сумма кончается на 1+9=10, то есть на 0, а значит, делится на 5.

Осталось доказать, что это число делится на 3.

11=3*3+2; 11^2019 = (3*3+2)^2019 = 2^2019.

Здесь и дальше знак = означает "такой же остаток при делении на 3".

2^2019 = (2^3)^673 = 8^673 = 2^673 = 2^3*2^670 = 8*(2^10)^67 = 2*1024^67 =

= 2*(3*341+1)^67 = 2*1^67 = 2

Таким образом, 11^2019 имеет при делении на 3 остаток 2.

19 = 3*6+1; 19^2019 = (3*6+1)^2019 = 1^2019 = 1.

Таким образом, 19^2019 имеет при делении на 3 остаток 1.

Сумма этих чисел имеет остаток 2+1=3, то есть делится нацело.

Что и требовалось доказать.