РЕчОнку - Е, потому что проверочное слово «реки», О, потому что у суффиксе существительного после шипящих пишется О.
пОшЁл - О, потому что приставка по- (па- не бывает), Ё, потому что есть чередование с Ем«шедший».
пО дОроЖкЕ - по - предлог (предлога па- не бывает), пишется раздельно (ПО чему? ПО дОроЖкЕ), О нужно запомнить (полногласие -оро-), Ж (дороженька), Е - окончание 1 склонения, Дат.падежа.
Едва-едва (через дефис, потому что образуется путём повтора одного и того же слова).
нАрублЕННых - приставка на- (приставки но- не бывает), енн - суффикс страдательного причастия.
нЕОжИдаННО - образовано от «неожиданный», поэтому сохраняется слитное написание и НН. Первая О - приставка. Жи-ши пиши с буквой И. Вторая О - суффикс (так как образовано от приставочного прилагательного «неожиданный»)
прИдётЕ - приставка при-, так как значение приближениях, окончание ете/ёте (ети не бывает)
по-вЕсеННЕму - через дефис, потому что это наречие, которое начинается на по- и заканчивается на -ему; первое Е (проверочное вёсны), НН, потому что образовано от слова весеННий (одна Н в корне -весен-, другая - в суффисе-Н-). Второе Е, так как в прилагательном весеннему было Е (определяется по вопросу какОМУ? Значит, окончание -ому или -ему)