1) tg ∠KOL = KL/KO
√3 = х/ 6
х = 6√3
KL = 6√3
(можно делать и через косинус, а потом по теореме пифагора находить KL. Но через тангенс намного быстрее.)
*Для справки
tg30°= √3/3 ctg30°= √3
tg45°= 1 ctg45°= 1
tg60°= √3 ctg60°= √3/3
2) MN - касательная к окружности. ⇒ MN⊥ON. Значит ΔMNO - прямоугольный.
Известно, что NO = 9. MO = 18. ⇒ NO = 1/2 MO.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.
Значит ∠MNO = 30°
ΔMKO - прямоугольный, т.к. касательная MK⊥KO
Рассмотрим ΔMNO И ΔMKO
1) KO=NO - радиусы окружности
2) MK = MN - касательные к окружности проведенные из 1 точки.
То треугольники равны по двум катетам
Значит ∠KMO= ∠NMO = 30° ⇒ ∠ NMK = 60°
3) Рассмотрим ΔBAO
1) OA=OB - радиусы окружности
2) OA = AB - по рисунку
3) OB = AB ( т.к. OA=OB, OA = AB)
Значит ΔBAO - равносторонний. И его углы равны 60°
CA - касательная к окружности
СА⊥ОА
∠OAB + ∠BAC = 90°
Мы доказали, что ∠OAB = 60°
То ∠BAC = 90-60 = 30°
∠BAC = 30°
4) Рассмотрим ΔBAO
1) OA=OB - радиусы окружности
2) OA = AB - по рисунку
3) OB = AB ( т.к. OA=OB, OA = AB)
Значит ΔBAO - равносторонний. И его углы равны 60°
CA - касательная к окружности
СА⊥ОА
∠OAB + ∠BAC = 90°
Мы доказали, что ∠OAB = 60°
То ∠BAC = 90-60 = 30°
AM = MB - касательные к окружности проведенные из одной точки.
То ΔAMB - равнобедренный, углы при основании равны
Значит ∠BAC = ∠ ABM = 30°
Cумма углов треугольника 180°
Значит ∠AMB = 180-30-30 = 120°
∠AMB = 120°
5) MO⊥MN ( касательная проведенная к окружности перпендикулярна ее радиусу) Значит ΔMNO - прямоугольный
По Теореме Пифагора найдем MN
NO²-MO²= MN²
MN = √15²-12² = √225-144 = √81 = 9м
MN=9м