ОЧЕНЬ НУЖНО СЕЙЧАС! 50 БАЛЛОВ Докажи, что когда радиус круга, вписанного в правильный...

Для правильного многоугольника справедливо равенство (R - радиус описанной окружности, n - кол-во сторон (или углов) правильного, r - радиус вписанной окружности):

$R=\frac{r}{cos(\frac{180}{n}) }$ (180 градусов)

Эта формула выводится в любом учебнике по геометрии за 7-9 класс в теме "Правильные многоугольники"

Подставим значения для этой задачи (n=8):

$R=\frac{r}{cos 22.5}$ (22,5 градуса)

Преобразуем выражение:

$\frac{2r}{2cos22.5}=\frac{2r}{\sqrt{(2cos22.5)^{2} }}=\frac{2r}{\sqrt{2+\sqrt{2} } }$

В результате преобразований получили необходимое выражение, что и требовалось доказать.