25^x + (4/25^x) - ( 5^x + (2/5^x) ) <= 2,</p>
25^x + (4/25^x) = (5^x)^2 + (2/5^x)^2 = (5^x)^2 + 4 + (2/5^x)^2 - 4 =
= ( 5^x + (2/5^x) )^2 - 4.
сделаем замену переменной 5^x + (2/5^x) = t.
Тогда получим следующее неравенство:
t^2 - 4 - t <= 2,</p>
t^2 - t - 6 <=0,</p>
t^2 + 2t - 3t - 6 <=0,</p>
t*(t+2) - 3*(t+2) <=0,</p>
(t+2)*(t-3) <=0,</p>
Решая это неравенство найдем, что -2<=t<=3.</p>
Теперь делаем обратную замену переменной и нужно решить систему из двух неравенств:
5^x + (2/5^x) >= -2,
5^x + (2/5^x) <=3.</p>
1) 5^x + (2/5^x) >= -2, домножаем на 5^x >0,
5^(2x) + 2*5^x + 2 >=0,
( 5^x + 1)^2 + 1 >=0, верно для всех икс.
2) 5^x + (2/5^x) <=3, домножаем на 5^x >0,
5^(2x) - 3*5^x + 2 <=0,</p>
опять делаем замену 5^x = u,
u^2 - 3u + 2 <=0,</p>
u^2 - u - 2u + 2 <=0,</p>
u*(u-1) - 2*(u-1) <=0,</p>
(u-1)*(u-2) <=0,</p>
решая это квадратное неравенство найдем, что
1<=u<=2</p>
делаем обратную замену
1<=5^x <=2,</p>
Получаем систему неравенств:
5^x >=1,
5^x <= 2.</p>
1) 5^x >=1,
5^x >= 5^0,
x>=0.
2) 5^x <= 2 = 5^log_5(2),</p>
x<= log_5(2).</p>
Итак, 0<= x<=log_5(2) .</p>