применяем метод математической индукции
1. проверяем при n=1
1³ = 1²*(1+1)²/4 = 1 верно
хотите сами проверьте для 2 и 3 (это не надо при примении ММИ)
2. допустим верно для n=k
3. докажем n=k+1
1³ + 2³ + .... + k³ + (k+1)³ = (k+1)²(k+2)²/4
k²(k+1)²/4 + (k+1)³ = k²(k+1)²/4 + 4(k+1)³/4 = (k+1)²(k² + 4k + 4)/4 = (k+1)²(k+2)²/4
доказали
верно для всех натуральных n