В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус угла ВАС равен 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в ∆ MBN.
------
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.
Следовательно, ∆ MBN подобен ∆ АВС, т.к. их углы равны, и
sin∠ВМN =sin∠BAC=4/5.
Опустим из В высоту ВН на MN. Высота равнобедренного треугольника - его медиана и биссектриса. МН=3
ВМ=МН:cos∠BMH
cos²∠BMH=1-sin²∠BMH=1-16/25
cos ∠BMH=√16/25=3/5=0,6
АВ=3:0,6=5, ⇒ BN=5
Формула радиуса вписанной окружности
r=S/p, где S- площадь треугольника, р- его полупериметр.
S=AB*МН•sin ∠BMH=5•6•0,8:2=12
p=(6+2•5)/2=8
r=12:8=1,5 (ед.длины)
----------
Как вариант решения можно по т.Пифагора вычислить
длину ВН=4, площадь ∆ BMN по формуле S=ah.
Радиус r - по формуле радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ( она дана в приложенном рисунке)