Знайдіть радіус кола вписаного в квадрата площа якого дорівнює 100 см²

Найдем сторону квадрата, используя формулу

S = a₄², где S - площадь, a₄ - сторона квадрата

Подставляем

100 = a₄²

a₄ = √100 = 10 см

Найдем радиус описанной окружности (R), используя формулу:

a₄ = R√2

Подставляем

10 = R√2

$\displaystyle\tt R=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =\frac{10\sqrt{2} }{2} =5\sqrt{2}~cm$

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу

$\displaystyle\tt r=Rcos\frac{180^\circ}{n}\\\\\\$

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, n - число углов правильного n-угольника (квадрата)

Подставляем

$\displaystyle\tt r=5\sqrt{2} cos\frac{180^\circ}{4}\\\\r=5\sqrt{2}cos45^\circ\\\\r=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{10}{2} =5~cm$

Ответ: r = 5 см