Надо определить функцию зависимости площади заданного прямоугольника от величины его сторон на катетах.
Пусть х - сторона на катете 2, а у - сторона на катете 4.
Из подобия треугольников с остатками сторон на катетах получаем:
у/(2 - х) = (4 - у)/х.
ху = (2 - х)(4 - у) = 8 - 4х - 2у + ху.
8 - 4х - 2у = 0.
Отсюда находим зависимость у от х: у = 4 - 2х.
Получаем формулу площади искомого прямоугольника:
S = xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x².
Производная S' = 4 - 4x = 0. Это экстремум функции. х = 4/4 = 1.
Определяем знаки производной левее и правее точки х = 1.
х = 0,5 1 1,5
y' = 2 0 -2. Как видим, в точке х = 1 максимум.
у = 4 - 2*1 = 4 - 2 = 2.
Ответ: вписанный прямоугольник имеет стороны 1 и 2.