Точки локальных экстремумов у функций нескольких переменных определяют так:
1) обе частных первых производных должны быть равны 0.
dz/dx = 2x + y + 3 = 0
dz/dy = -10y + x - 51 = 0
Решаем систему. 1 уравнение умножаем на 10.
20x + 10y + 30 = 0
x - 10y - 51 = 0
Складываем уравнения
21x - 21 = 0
x = 1; y = -3 - 2x = -3 - 2 = -5
Критическая точка (1; -5).
2) Находим производные 2 порядка
A = d2z/dx^2 = 2 > 0
B = d2z/(dxdy) = 1
C = d2z/dy^2 = -10
D = AC - B^2 = 2(-10) - 1^2 = -21 < 0
Так как D < 0, то экстремума в этой точке нет.
Если бы было D > 0, A > 0, была бы точка минимума.