1) Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.
2) Отношением двух отрезков называется отношение их длин (для АВ и CD отношением является AB/CD).
3) Число k, равное отношению сходственных сторон подобных фигур, называется коэффициентом подобия.
4) 1.Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.
2.Прямые, параллельные катетам прямоугольного треугольника, отсекают от него треугольники, подобные данному. Эти треугольники также подобны между собой.
5) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
6) Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
7) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
8) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
9) Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба A1C1, изображённого на рисунке 199.Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест AC с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку A1, столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку B, в которой прямая A1A пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники A1C1B и ACB подобны по первому признаку подобия треугольников ( Измерив расстояние BC1 и BC и зная длину AC шеста, по полученной формуле определяем высоту A1C1 телеграфного столба. Если, например, BC1=6, 3 м, BC=2, 1 м, AC=1, 7 м, то A1C1=1, 7*6, 3/2,1 =5, 1 М.
10) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть треуг. АВС и треуг. А1В1С1 - два треугольника, у которых угол А = углу А1, угол В = углу В1. Докажем, что треуг. АВС подобен треуг. А1В1С1.
По теореме о сумме углов треугольника имеем: угол С = 180 - угол А - угол В, угол С1 = 180 - угол А1 - угол В1, и, значит, угол С = углу С1. Таким образом, углы трегуг. АВС соответственно равны углам треуг. А1В1С1.
Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треуг. А1В1С1. Так как угол А = углу А1, угол С = углу С1, то SABC/SA1B1C1 = (AB * AC)/(A1B1 * A1C1) и SABC/SA1B1C1 = (CA * CB)/(C1A1 * C1B1). Из этих равенств следует, что AВ/А1В1 = ВС/В1С1. Аналогично, используя равенства угол А = углу А1, угол В = углу В1, получаем ВС/В1С1 = СА/С1А1. Итак, стороны треуг. АВС пропорциональны сторонам треуг. А1В1С1. Теорема доказана
11) Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Пусть даны треугольники ABC и DEF, у которых ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.
Если эти треугольники подобны, то их стороны будут пропорциональны друг другу, т. е. будут соблюдаться равенства AB = kDE, BC = kEF, AB = kDF.
Если в одном треугольнике два угла соответственно равны двум углам в другом треугольнике, то равными будут и третьи углы этих треугольников, т. к. сумма углов любого треугольника равна 180°.
Как известно, у подобных треугольников углы соответственно равны. Т. е. если треугольники подобны, то их углы соответственно равны. Однако нельзя однозначно утверждать обратное: если углы соответственно равны, то треугольники подобны. Ведь можно предположить, что существую треугольники с соответственно равными углами, но у которых стороны не пропорциональны, а значит, такие треугольники не являются подобными.
Согласно теореме синусов, сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.
Если диаметр описанной около треугольника ABC окружности равен d, то мы можем выразить стороны этого треугольника так:
AB = d sin C, BC = d sin A, AC = d sin B
Если диаметр описанной около треугольника DEF окружности равен d1, то получим:
DE = d1 sin F, EF = d1 sin D, DF = d1 sin E
Так как углы A, B и C соответственно равны углам D, E и F, то мы можем заменить одни на другие. Сделаем это для сторон треугольника DEF:
DE = d1 sin C, EF = d1 sin A, DF = d1 sin B
Найдем отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого:
AB/DE = (d sin С) / (d1 sin С) = d/d1
BC/EF = (d sin A) / (d1 sin A) = d/d1
AC/DF = (d sin B) / (d1 sin B) = d/d1
То есть все три отношения равны одному и тому же значению (d/d1), а значит, равны между собой; т. е.
AB/DE = BC/EF = AC/DF
Таким образом, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Значит, треугольники подобны.