Не знаю как эту задачу лучше решать чисто алгебраически не применяя производную (можно применить тригонометрическую замену), но есть хороший метод как можно решить эту задачу геометрически. Я запишу в общем виде данную задачку.
Нужно найти минимум следующей функции:
f(x)=√( (x-a)^2 +b^2) +√( (x-c)^2 +d^2) (c>a) (f(x)>=0)
Рассмотрим два прямоугольный треугольника катеты которых параллельны , имеющие общую вершину (cм. рисунок).
Пусть катеты первого треугольника: |x-a| ; b , второго |x-c| ; d . Тогда согласно теореме Пифагора:
функция f(x) это сумма гипотенуз прямоугольных треугольников.
Будем считать точки 1 и 2 на рисунке зафиксированными. То есть при увеличении x, катет b едет вниз параллельно катету d. То есть , если вертикальный катет 1 треугольника увеличивается на величину k, то вертикальный катет второго уменьшается на величину k. То есть этот путь применим в случае , когда модули раскрываются с противоположным знаком. (то есть ,когда x>a ; x
То есть первый катет : x-a , а другой с-x.
Когда меняется значение x, точки 1 и 2 остаются неподвижны, меняется только сумма гипотенуз прямоугольных треугольников, образно говоря меняется путь между точками 1 и 2. Нам нужно подобрать такую координату x, чтобы сумма гипотенуз (путь между точками 1 и 2) была наименьшей. Очевидно что наименьший путь от точки 1 до точки 2 это расстояние между точками 1 и 2. Cумма гипотенуз будет исходным расстоянием , в том случае. когда их общая вершина будет лежат на этом расстоянии, то есть прямоугольные треугольники будут подобны по соответственному острому углу при параллельных катетах c и d. Таким образом: (x-a)/b =(c-x)/d
(x-a)*d=(c-x)*b
xd-ad=cb-bx
x*(d+b)=ad+cb
x=(ad+cb)/(d+b)
Причем это расстояние равно гипотенузе прямоугольного треугольника полученного при продолжении катетов данных треугольников: f(x)min=√ ( ( (x-a) +(c-x) )^2 +(b+d)^2)=√( (c-a)^2 +(b+d)^2 )
В случае же ,когда модули раскрываются с одинаковым знаком данная функция монотонно растет, от края интервала а или c.
То есть на таких интервалах минимум будет в точках a или с. Но тк из рисунка понятно ,что в этих точках значение будет больше чем в рассчитанной координате , то минимум в любой подобной функции будет равен:
f( (ad+cb)/(d+b) )=√( (c-a)^2 +(b+d)^2 )
Применим теперь на практике нашу формулу:
1) Преобразуем нашу функцию выделяя в подкоренных выражениях полный квадрат:
√((x-1)^2+1^2) +√((x-5)^2+2^2)
Используя выведенную формулу имеем: (5>1)
fmin=√(5-1)^2 +(2+1)^2=5
Ответ: минимальное значение равно 5
2) Тут функцию уже привели к нужному нам виду. Правда тут немножко другая функция, но суть та же тк логарифм имеет область значений область действительных чисел. Область определения нас не волнует. По той же формуле получаем:
fmin=√(3-0)^2+(1+3)^2=5
Ответ:5
Я правда не знаю , может x+1 ;(x-3) это все внутри логарифма. Если так то ,то тут уже совсем другой метод. Тк тут один катет зависит от другого не линейно. Мне кажется это снаружи логарифма, то есть показатель логарифма x. Если же нет, сообщите мне об этом я подумаю, как можно подойти к ответу.
