Примем длину ребра основания за х.
Апофема равна А = √(25 - (х²/4) = √(100 - х²)/2.
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)*4х*√(100 - х²)/2 = х√(100 - х²).
Площадь основания So = x².
По заданию S = Sо + Sбок = х² + х√(100 - х²) = 16.
Перенесём х² вправо и обе части возведём в квадрат.
100x² - x⁴ = 256 - 32x² + x⁴.
Получаем биквадратное уравнение: 2x⁴ - 132x² + 256 = 0.
Сократим на 2 заменим х² = t.
t² - 66t + 128 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t:
Ищем дискриминант:
D=(-66)^2-4*1*128=4356-4*128=4356-512=3844;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√3844-(-66))/(2*1)=(62-(-66))/2=(62+66)/2=128/2=64;
t_2=(-√3844-(-66))/(2*1)=(-62-(-66))/2=(-62+66)/2=4/2=2.
Обратная замена: х1 = 8 и х2 = √2.
Первый корень отбрасываем, так как площадь только основания равна 64, что больше заданного значения.
Ответ: длина основания равна: Р = 4х = 4√2.