Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24. Узнай,...

$3a_{2} + a_{4} = 24 \\ 3(a_{1} + d) + a_{1} + 3d = 3a_{1} + 3d+ a_{1} + 3d \\ 4a_{1} + 6d = 24 \\ 2a_{1} + 3d = 12 \\ 2a_{1} = 12 - 3d\\ a_{1} = \frac{12 - 3d}{2} \\$

$a_{3} \times a_{5} = (a_{1} + 2d)( a_{1} + 4d ) = \\ = {a}^{2} _{1} + 2a_{1} d + 4a_{1} d + 8 {d}^{2} = \\ = {a}^{2} _{1} + 6a_{1} d + 8 {d}^{2}$

${( \frac{12 - 3d}{2}) }^{2} + 6(\frac{12 - 3d}{2}) d + 8 {d}^{2} \\ \frac{ {(12 - 3d)}^{2} }{4} + 6d \frac{(12 - 3d)}{2} + 8 {d}^{2} = 0 \\ {(12 - 3d)}^{2} + 6d(12 - 3d) + 32 {d}^{2} = 0 \\ 144 - 72d + 9 {d}^{2} + 144d - 36 {d}^{2} + 32 {d}^{2} = 0 \\ 5 {d}^{2} + 72d + 144 = 0$

Находим вершину параболы:

$x = - \frac{b}{2a} \\ x = - \frac{72}{2 \times 5} = - 7.2$

Таким образом минимальное значение

$a_{3} \times a_{5}$

достигается при d=-7.2

Ответ:

разность прогрессии: d= -7.2