Найдём частные производные первого порядка для трёх переменных.
Теперь найдём в какой именно точке производная равна нулю.
-4-8z+z-3=0=>\\=>z=-1=>2y-1-3=0=>y=2\\Q(0;2;-1)" alt="\left \{ {{2x=0} \atop {\left \{ {{2y+z-3=0} \atop {4z+y+2=0}} \right. }} \right. \\y=-2-4z=>-4-8z+z-3=0=>\\=>z=-1=>2y-1-3=0=>y=2\\Q(0;2;-1)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Теперь надо найти все производные второго порядка, их значение в точке Q, а затем составить матрицу Гессе.
Значение точки подставлять не пришлось т.к. получились константы
Составим эту матрицу.
Вычислим угловые миноры.
0\\\delta_2=\left|\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right|=4-0=4>0\\\delta_3=\left|\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right|=2*2*4+0*0*1+0*1*0-\\0*0*2-2*1*1-0*0*4=16-2=14>0" alt="H=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right)\\\delta_1=2>0\\\delta_2=\left|\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right|=4-0=4>0\\\delta_3=\left|\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right|=2*2*4+0*0*1+0*1*0-\\0*0*2-2*1*1-0*0*4=16-2=14>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
1. Если δ₁>0; δ₂>0; δ₃>0, то функция u=f(x;y;z) достигает минимума в точке Q.
2. Если δ₁<0; δ₂>0; δ₃<0 (именно так) то максимум в точке Q.</p>
3.1. Иначе если δ₃=|H|≠0, то Q-седловая точка.
3.2. А если δ₃=|H|=0, то это не max и не min.
В нашем случаи это точка минимума.
Ответ: 