Пусть АВСD - данный квадрат.
Точка Е - середина АВ,
М - середина ВС,
К - середина СD,
Р - середина АD.
Докажем, что ЕМКР имеет форму квадрата.
Рассмотрим ΔЕВМ: ∠В = 90° (так как у квадрата все углы по 90°).
ВЕ = ВМ (так как это половины равных сторон квадрата).
Таким образом, треугольник равнобедренный.
Итак мы получаем, что ∠Е=∠М = (180° - 90°) : 2 = 45°.
Аналогично доказывается, что в ΔАЕР ∠Е и ∠Р равны 45°.
Значит, ∠АЕР + ∠РЕМ + ∠ВЕМ = 180° (это развернутый ∠АВ).
45° + ∠РЕМ + 45° = 180°.
∠РЕМ = 90°.
Так как ΔАЕР, ΔЕВМ, ΔМСК и ΔКDР равны, значит, у четырехугольника ЕМКР все уголы равны 90°.
Пусть сторона квадрата АВСD равна а, тогда его площадь будет равна квадрату стороны:
S(АВСD) = а².
S квадрата ЕМКР будет равна квадрату стороны, например ЕМ.
S(ЕМКР) = ЕМ².
Рассмотрим ΔЕВМ (∠ В = 90°), по теореме Пифагора:
ЕМ² = EB² + BM². ЕВ и ВМ равны половине стороны квадрата, то есть а/2.
ЕМ² = (а:2)² + (а:2)² = а²:4 + a²:4 = 2a²:4 = a²:2.
Значит, S(ЕМКР) = a²:2, то есть в два раза меньше площади АВСD.