Пусть 10% проиграли всем и каждый набрал 0 очков. Таких игроков не может быть больше одного, так как если их, например, двое, то в партии между ними либо один выиграл и получил 1 очко, либо сыграли вничью и набрали по 0,5 очка.
Значит, только один игрок мог проиграть все партии и набрать 0 очков. Всего было 10 игроков и было сыграно 10·9:2 = 45 партий.
Пусть 10% сыграли один раз вничью, остальные партии проиграли, и у них по 0,5 очка. Таких игроков может быть только двое - между собой они сыграли вничью, все остальные партии проиграли. Предположим, что таких игроков трое и более. Тогда первый со вторым сыграли вничью и получили по 0,5 очка, но в последующих партиях (первый с третьим, второй с третьим и т.д.) один из них наберёт ещё 0,5 либо 1 очко, и его количество очков будет ≥1, что противоречит условиям задачи.
Значит, только два игрока могли сыграть вничью партию между собой, а все остальные партии проиграть. Всего было 20 игроков и было сыграно 20·19:2 = 190 партий.
Ответ: 45 или 190.