Ответ: π/2
Пошаговое объяснение:
Применим cледствие из формулы Эйлера:
sin(x)= ( e^(ix) -e^(-ix) )/2i
sin(nx)=( e^(nix) -e^(-n*i*x) )/2i (n-нечетное натуральное число)
sin(n*x)/sin(x) = ( e^(nix) -e^(-n*i*x) /(e^(ix) -e^(-ix) )
e^(ix)=a
e^(-ix)=b=a^(-1)
= (a^n-b^n)/(a-b) =(a^(n-1) +a^(n-2)*b +a^(n-3)*b^2...+a*b^(n-2)+
+b^(n-1) = a^(n-1) + a^(n-3) +a^(n-5).....+a^(3-n) +a^(1-n)
Поскольку n-нечетное число,то n-1 четное.
Тогда: sin(nx)/sin(x)=a^(n-1)+a^(n-3)+a^(n-5)...+a^2+1+a^-2...+a^(5-n)+a^(n-3)+
a^(1-n). (a^0=1)
Поскольку a^(n-k) +a^(k-n)= e^(i*x*(n-k)) +e^(-i*x*(n-k))=2cos(x*(n-k)) - второе следствие формулы Эйлера.
sin(n*x)/sin(x)= 2* ( сos( (n-1)*x) +cos( (n-3)*x)+cos( (n-5)*x)...+cos(2x) ) +1
(k-нечетное натуральное число)
Найдем первообразную:
2* ( сos( (n-1)*x) +cos( (n-3)*x)+cos( (n-5)*x)...+cos(4x)+cos(2x) )+1
F(x)= x+ 2* ( sin(2x)/2 +sin(4x)/4...+sin( (n-5)*x)/(n-5) +sin( (n-3)*x)/(n-3) +
+sin( (n-1)*x)/(n-1)) Очевидно: F(0)=0 ( т.к sin(k*0)=0)
Так как вcе показатели четные:
sin(2*m*π/2) =sin(m*π)=0.
Тогда : F(π/2)= π/2
Откуда: тк n=2019 -нечетное число.
Ответ: π/2