Числа aa и bb натуральные числа таковы, что (a−b)^2 =НОК(a,b). Докажите, что НОД(a,b)>1.

Question

Числа aa и bb натуральные числа таковы, что (a−b)^2 =НОК(a,b). Докажите, что НОД(a,b)>1.

Answer 1

Предположим, что НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = ab:

(a - b)² = ab

a² + b² = 3ab

Если число делится на три, его квадрат тоже делится на 3, в противном случае квадрат даёт остаток 1 от деления на 3. 3ab делится на 3, значит, a  делится на 3 и b делится на 3, но тогда НОД(a, b) = 3. Противоречие. Значит, НОД(a, b) > 1.