Дано: y = 2*x²/(x-3),
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: D(y)= X≠ , X∈(-∞;3)∪(3;+∞).
Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = 3. Вертикальных асимптота - Х = 3.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x =lim(+∞) 2*x/(x-3) = 2
b =lim(+∞) 6*x/(x-3) = 6 и y(x) = 2*x + 6 - асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
2*x² = 0 . Нуль функции: y(0) = 0.
Пересечение с осью ОУ: х = 0.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;3). Положительна: Y>0 - X∈(3;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x). 7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 4*x/(x-3)- 2*x²/(x-3)² = 2*x*(x-6)/(x-3)² = 0.
x1 = 0, x2 = 6 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = 0, минимум: y(3) = 24.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;0)∪(6;+∞). Убывает: X∈(0;3)∪(3;6).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 36/(x-3)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 3.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;3);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
