Дано: y = x²/(x²-1),
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: в знаменателе х²-1 = (х-1)*(х+1) ≠ 0.
D(y)= X≠ ±1 , X∈(-∞;1)∪(1;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = ±1.
Вертикальные асимптоты - Х = -1 и Х = 1.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = 0
. b = 0 и
y(x) = 0 - горизонтальная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
Y(x) =0. Нулей функции - нет.
Пересечение с осью ОУ : Y(0) = -1.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-1;1). Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-1)∪(1;+∞;)
6. Проверка на чётность.
Функция чётная. Y(-x) = Y(x) ,
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2*x/(x²-1)- 2*x/(x²-1)² = -4x/(x²-1)² = 0.
x₁ = 0, x₂ = -1, x₃ = 1 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = 0.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;-1)∪(-1;0). Убывает: X∈(0;1)∪(1;+∞).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = (12*x²+4)/(x-1)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрывов при Х = ±1.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-1)∪(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(1;1);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
