1) Пусть два из чисел одинаковой четности, так как квадрат числа такой же четности как и число и так как сумма и разница чисел одинаковой четности - четные, то квадрат третьего числа - четный, а так как 2 - простое число, то третье число делится на 4.
Пусть два из чисел разной четности, тогда сумма или разница их квадратов нечетная, значит третье число нечетное. Выберем это нечетное число и одно из первых двух чисел, которое нечетное. Тогда выбранные числа одинаковой парности, и по причинам самого первого заключения невыбранное число делится на 4.
Таким образом, доказали, что проиведение всех чисел делится на 4 (так как одно из чисел всегда делится на 4).
Пусть никакое число не делится на 3. Тогда выберем числа х и у. Они дают остаток 1 или 2 при делении на 3. Значит их квадраты дают остаток 1^2=1 или 2^2=4, которое дает остаток 1 при делении на 3. Значит их квадраты дают остаток 1 при делении на 3. Значит квадрат числа z дает остаток 2 при делении на 3. Так как z не делится на 3, то оно дает остаток 1 или 2 при делении на 3. По выше доказанному, его квадрат дает остаток 1 при делении на 3, но он дает остаток 2. Из противоречия следует, что хотя бы одно число делится на 3.
Значит проиведение всех чисел делится на 3.
Пусть никакое число не делится на 5. Выберем числа х и у. Они дают остаток 1,2 ,3 или 4 при делении на 5. Значит их квадраты дают остаток такой же, как и 1,4,9,16 соответсвенно, которые дают остатки 1,4,1,4 соответсвенно. Если один из их квадратов дает остаток 1, а другой дает остаток 4 при делении на 5, то их сумма, а значит и квадрат числа z делится на 5, что по предположению неверно. Если оба квадрата чисел х и у дают остатки 1 и 1, то их сумма дает остаток 2, а если дают остатки 4 и 4, то их сумма дает остаток 3. Значит квадрат числа z дает остатки 2 или 3, но по вышедоказанному это невозможно, из противоречия следует, что хотя бы одно из чисел делится на 5.
Значит проиведение всех чисел делится на 5.
Так как проиведение всех чисел делится на 4, 5 и 3, а это взаимно простые числа, то проиведение всех чисел делится и на 3*4*5=60.
2) Умножим на (х-а):
(х-а)(х+а)...(х^2^n+a*2^n)=(x^2-a^2)...(x^2^n+a^2^n)=...=x^2^(n+1)-a^2^(n+1)=(х-а)(х^(2^(n+1)-1)-...+a^(2^(n+1)-1)). (Это из формул разности квадратов, а в конце формула бинома Ньютона)
И поделим обратно на (х-а):
Это выражение равно х^(2^(n+1)-1)-...+a^(2^(n+1)-1).
3) Площадь четырехугольник равна сумме площадей треугольников АВD и CBD, которые прямоугольные, значит их площади соответсвенно АВ*AD/2=11*3/2=16,5 и CB*CD/2=7*9/2=31,5. Их сумма 16,5+31,5=48.
4) Для тго, чтоб наполнить коробку одинаковыми кубиками, каждая ее сторона должна делиться на сторону кубика, так как их отношение равно количеству кубиков в ряду с этой стороной, а значит это натуральное число. Чтоб количество кубиков было минимальным, необходимо, чтоб сторона кубиков была максимальной, значит надо найти НОД(30,30,50)=НОД(30,50)=10
Значит кубики будут со стороной 10. Обьем каждого кубика 10^3=1000.
Обьем коробки=30*30*50=900*50=45000
Значит минимальное количество кубиков это 45000/1000=45.