ДАНО: Y = (x²-x +1)/(x-1).
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения: D(y)= X≠ 1 , X∈(-∞;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота - Х = 1.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1
, b = 1 и
y(x) = x + 1 - асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Нулей функции - нет
Пересечение с осью ОУ: y(0) = -1.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;1). Положительна: Y>0 - X∈(1;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция общего вида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,
Y(-x)≠ Y(x).
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2*x/(x-1) - (x²-х+1)/(x-1)² = 0.
x1 = 0, x2 = 2 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = -1, минимум: y(2) = 3.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;0)∪(2;+∞). Убывает: X∈(0;1)∪(1;2).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 2/(x-1)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 1.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
