Докажите неравенство при a>0; b>0; c>0; d>0

0 голосов
42 просмотров

Докажите неравенство при a>0; b>0; c>0; d>0


image

Алгебра (69 баллов) | 42 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Пусть, для определённости, d>=c>=b>=a. Тогда всю дробь можно переписать в виде:

\frac{3a}{b+c+d}+\frac{3b}{a+c+d}+\frac{3c}{a+b+d}+\frac{3d}{a+b+c}\geq \frac{3a}{3d}+\frac{3b}{3d}+\frac{3c}{3d}+\frac{3d}{3d}=\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}+\frac{d}{d} =1+\frac{b+c+a}{d}\geq 1+\frac{3a}{d}= 1+3=4

Что и требовалось доказать.

Пояснение: Выражение после первого знака неравенства получается, если взять наименьший знаменатель, а это d+d+d=3d.

Выражение после второго знака неравенства получается оттого, что мы берём наибольший числитель(то есть b+c+a=a+a+a=3a).

Выражение после третьего знака неравенства справедливо так как a>=d, то есть a/d>=1. Отсюда 3*(a/d)>=1*3=3

P.S. Если что-то непонятно, то не стесняйся спрашивать)

(1.2k баллов)
0

стоп

0

а как делать то

0

Я не понимаю. Что ты имеешь ввиду?

0

Ну решать неравенство то как

0

Если ты про подбор корней, то достаточно просто подставить числа a=b=c=d. Например, a=b=c=d=1 или a=b=c=d=2 и т.д. Если же ты про выражение 1+(3a/d), то можно доказать, что это значение достигается только при a=b=c=d. Отсюда ты получишь равенство так как a/d=d/d=1. Получается, что 1+3*(a/d)=1+3*1=4

0

блин

0

но это не доказательство

0

Понимаю тебя, доказательства фактически нет. Просто я не представляю как найти минимум без неравенства Коши. С этим неравенством всё однозначно. Ты его знаешь?

0

Так, я запутался. Если мы нашли минимум выражения и значение, при котором он достигается, то логично, что мы должны подставить это значение, иначе значение выражения будет больше. Отсюда a/d=1 и 1+(3a/d)=1+3=4. При других условиях(Например, если a не равно d), мы получим более большое значение выражения

0

Я не понимаю, что здесь надо ещё доказывать просто)