Таш Джошкун начал играть в футбол в своём родном городе Айдын в клубе «Айдынспор». В 1949 года он получил специальное разрешение, которое позволило ему выступать за основную команду. В 1951 году, в возрасте 18 лет, переехал в Стамбул для обучения в университете и вскоре стал игроком местного «Бешикташа». До 1959 года Таш совмещал выступления за клуб с учёбой, за это время дважды выиграв Кубок федерации Турции.