б) Функция y=(x^2+1)/x
Таблица точек
xy
-3.0-3.3
-2.5-2.9
-2.0-2.5
-1.5-2.2
-1.0-2
-0.5-2.5
0-
0.52.5
1.02
1.52.2
2.02.5
2.52.9
3.03.3
Решение:
1) Функция определена повсюду кроме точки, в которой знаменатель превращается в ноль, x = 0.
Область определения состоит из двух интервалов D(y):(-∞;0) U (0; +∞).
В данном случае имеем одну точку разрыва x=0.
Вычислим границы слева и справа от этой точки
lim┬(x→-0)〖 (x^2+1)/x=-∞.〗
lim┬(x→+0)〖 (x^2+1)/x=+∞.〗
Итак, x=0 – точка разрыва второго рода.
Проверяем функцию на четность.
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений
f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=(〖(-x)〗^2+1)/((-x))=-(x^2+1)/x≠f(x)=-f(x).
Итак, функция нечетная, непериодическая.
2) Так как функция не имеет значения при х = 0, то график функции не пересекает ось Оу.
Приравняем функцию к нулю:
(x^2+1)/x=0.
Если переменная не равна 0, то к нулю можно приравнять только числитель:
x^2+1=0,
x^2=-1,
Эта уравнение не имеет решения, поэтому график функции у= (x^2+1)/x не пересекает ось Ох.
3) Асимптоты.
Вертикальной асимптотой является ось Оу, определённая в пункте 1).
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖 (x^2+1)/x=x+1/x=∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
Аналогично, при x->-∞ f(x) = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k=lim┬( x→±∞)〖 (x^2+1)/x^2 =1+1/x^2 =1.〗
Коэффициент b: b=〖lim┬(x→±∞) (〗〖f(x)-kx).〗
〖b=lim〗┬( x→±∞)〖 (x^2+1)/x-x=(x^2+1-x^2)/x=1/x=0.〗
Конечный вид асимптоты следующий: y=x.
4) Для отыскания интервалов монотонности вычисляем первую производную функции:
〖y^'=〗〖 (2x*x-1*(x^2+1))/x^2 =(x^2-1)/x^2 .〗
Приравниваем её к нулю, (для дроби достаточно числитель):
x^2-1=0,x^2=1.
Отсюда получаем 2 точки, в которых возможен экстремум: x=1 и x=-1.
Они разбивают область определения с учётом разрыва функции в точке х = 0 на 4 интервала монотонности: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; ∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x =-2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' =0,75 0-3 - -3 0 0,75
Минимум функции в точке х = 1 равен 2.
Максимум функции в точке х = -1 равен -2.
Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (1; ∞).
Убывает на промежутках: (-1; 0) U (0; 1).
5) Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y'' = 0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''((x2+1)/(x)) = 2/(x3) = 0
Данная функция не может быть равна нулю, поэтому перегибов у функции нет.
Интервалы выпуклости и вогнутости.
Ось Оу делит график функции на 2 интервала: (-∞; 0) и (0; +∞).
Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, находим по знаку второй производной: где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x =-101
y'' =-2-2
Вогнутая на промежутках: (0; ∞),
Выпуклая на промежутках: (-∞;0) .
6) На основе проведенного анализа выполняем построение графика функции. Для этого сначала строим вертикальные и наклонные асимптоты, затем находим значение функции в нескольких точках и по них проводим построение.
