Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы...

Question

Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы площадь треугольника была наибольшей?Решать через производную!

Comments

Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник со стороной 6 см.

Answer 1

Пусть боковая сторона АВ = ВС = х, тогда АС = 18 - 2х

ВМ - высота ⇒ АМ = МС = (18 - 2х)/2 = 9 - х

В ΔВМС: по т.Пифагора  ВМ² = ВС² - МС² = х² - (9 - х)² = х² - (81 - 18х + х²) = 18х - 81

ВМ = √(18х - 81)

Площадь ΔАВС: S = (1/2) • AC • BM = (1/2) • (18 - 2x) • √(18x - 81) = (9 - x) • √(18x - 81)

Площадь данного треугольника должна быть наибольшей ⇒ Рассмотрим функцию S(x) = (9 - x) • √(18x - 81) и найдём её наибольшее значение.

S'(x) = ( (9 - x) • √(18x - 81) )' = (9 - x)' • √(18x - 81) + (9 - x) • (√(18x - 81) )' = - √(18x - 81) + (9 - x) • ( 1/(2√(18x-81) ) • 18 = - √(18x-81) + ( 9•(9-x)/√(18x-81) )

S'(x) = 0  ⇒  - √(18x-81) + ( 9•(9-x)/√(18x-81) )  = 0

9•(9-x)/√(18x-81) = √(18x-81)

9•(9-x) = √(18x-81)•√(18x-81)

81 - 9x = 18x - 81

27x = 162

x = 6 см

Значит, АВ = ВС = 6 см ⇒ АС = 18 - 2•6 = 6 см.

Поэтому, треугольник, имеющий наибольшую площадь, равносторонний, со стороной 6 см.

ОТВЕТ: 6 см ; 6 см ; 6 см

---