База:
при n=1
1=1(2*1-1)(2*n+1)/3=1(верно)
Пусть верно для некоторого n . Докажем для n+1. Требуется получить:
(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)/3=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3
Итак:
n(2n-1)(2n+1)/3+(2(n+1)-1)²=(n(2n-1)(2n+1)+3(2(n+1)-1)²)/3=
=(n(2n-1)(2n+1)+3(2n+1)²)/3=((2n+1)(n(2n-1)+3(2n+1))/3=
=(2n+1)(2n²-n+6n+3)/3=(2n+1)(2n²+5n+3)/3=(2n+1)(2n²+2n+3n+3)/3=
=(2n+1)(2n(n+1)+3(n+1))/3=(2n+1)(2n+3)(n+1)/3
Что требовалось доказать.
УДАЧИ!