Дано: F(x) = x²/(4*x² - 1)
Исследование
1. Область определения: в знаменателе 4*х²-1 = (х- 0,5)*(х+0,5) ≠ 0.
D(y)= X≠ ±0,5 , X∈(-∞;-0,5)∪(-0,5;0,5)∪(0,5;+∞).
Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = ± 0,5.
Вертикальные асимптоты - Х = -0,5 и Х = 0,5.
3. Наклонная асимптота: y = k*x+b.
k = lim(+∞)Y(x)/x = lim(+∞) = (x²+1)/(x³-x) = 0.
b = lim(+∞)Y(x) - k*x = lim(+∞)(x²)/(4*x²-1) = 1/4.
y(x) = 1/4 - горизонтальная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
Y(x) =0. Х =0.
Пересечение с осью ОУ : Y(0) = 0.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-0,5;0,5). </p>
Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-0,5)∪(0,5;+∞;)
6. Проверка на чётность.
Функция чётная. Y(-x) = Y(x) ,
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2*x/(4*x²-1)- 8*x³/(4*x²-1)² = -2x/(4*x²-1)² = 0.
x = 0 - точка экстремума.
8. Локальный максимум: y(0) = 0.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;-0,5)∪(-0,5;0).
Убывает: X∈(0;0,5)∪(0,5;+∞).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 32*x²/(4*x²-1)³ - 2/(4*x² -1)² = (24*x²+2)/(4*x-1)³ = 0
Точек перегиба нет, кроме разрывов при Х = ± 0,5.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-0,5)∪(0,5;+∞;),
выпуклая - "горка" - X∈(-0,5;0,5);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
