Можно конечно найти общее в этих сказках, к примеру использование колдовства, превращений персонажами сказок. Как правило в этих всех сказках добро берет вверх над злом, но наверно это все сходства.
А вот различия достаточно существенны.
Во первых сказки , написанные Андерсеном, это все таки литературные произведения, которые принадлежат одному автору. В них нельзя изменить ход событий.
Русские народные же сказки, это народный фольклор, зародившийся в древние времена, пересказываемые устно и зачастую рассказчики многое сами придумывали.
В русских народных сказках персонажи взяты из народной мифологии, тогда как Андерсон, по большей части их придумывал сам.
По большей части сюжеты сказок Андерсена охватывают период времени его жизни, там персонажи более "современны", тогда как в русских народных сказках это, как правило - дохристианский период.
Ну и конечно стоит сказать и самих сюжетах сказок. В русских народных они более простые, возможно это в силу того, что в далекие времена сам быт был намного проще, в сказках Андрсена это уже несколько усложнено, взять хотя бы сказки про Снежную королеву, Гадкого утенка и др. - в этих сказках присутствует элемент философских мыслей самого автора, его взгляды на различные ситуации.
Поэтому можно сказать, что Русские народные сказки и сказки написанные Гансом Христианом Андерсеном не одно и то-же, и не похожи между собой.