В полярной системе координат построить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Найти...

Question

Дан 1 ответ

xxxeol_zn · Answer 1 · 2020-06-02T12:58:12+0000

ДАНО: $R=4\sqrt{1+sin^22\alpha }$ - функция, r = 4 - окружность,

НАЙТИ: Площадь фигуры вне окружности.²

Пошаговое объяснение - решение силой Разума.

Мысль 1. Задача в полярных координатах. Построение графика без использования дополнительных средств весьма затратно.

Рисунок с графиком функции при расчёте через 10° в приложении.

Мысль 2. Площадь фигуры - разность площадей функции и окружности с r= 4.

Мысль 3. Площадь окружности по формуле: S1 = π*r² = 16π - (запоминаем - потом надо вычесть).

Мысль 4. Площадь ограниченная функцией по формуле:

$S=\frac{1}{2}\int\limits^b_a {R^2} \, d\alpha$

Пределы интегрирования от а = 0, до b = 2π - запоминаем.

Мысль 5. Вычисляем значение R(α)²

R(α)² = 16*(1 + sin²2α).

Коэффициент 16 выносим из под интеграла и приступаем собственно к интегрированию.

$S2=\frac{16}{2}\int\limits^b_a {(1-sin^22\alpha)}\, d\alpha$

Делаем подстановку - sin²x = (1-cos2x)/2 и получаем новый интеграл.

$\int\limits^b_a {sin^22\alpha } \, d\alpha=\frac{1}{2}\int\limits^b_a {(1-cos4\alpha) } \, d\alpha=\frac{\alpha }{2}-\frac{sin4\alpha }{8}$

В результате получили функцию площади .

$S2=8\int\limits^b_a {(\frac{3}{2}\alpha-\frac{sin4\alpha }{8}) } \, dx$

Вычисляем на границах интегрирования.

S2(2π) = 8*3π = 24π и S2(0) = 0 и

S2 - 24*π - площадь функции.

И переходим к ответу - вычитаем площадь центрального круга.

S = S2 - S1 = 24*π - 16*π = 8π (ед.²) - площадь фигуры - ответ.