10) Определяем векторы: АВ = (7; 1;-3), АС = (4; -2;-4).
Их модули равны: |AB| = √(49 + 1 + 9) = √59.
|AC| = √(16 + 4 + 16)= √36 = 6.
Скалярное произведение АВхАС = 28 -2 +12 = 38.
Ответ: cos A = 38/(√59*6) = 19√59/177 ≈ 0,82453.
11) Уравнение плоскости АДС по трём точкам .
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение определяется из такого выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек. получаем:
АВС = 3x - 2y - 8z - 23 = 0
.
Уравнение вектора ВА (3; -2; -8), что соответствует нормальному вектору плоскости АДС. Доказано.