Ответ:
1. Угол NMK=60°
2. Угол AMB = 60°
3. Угол BAC = 30°
4. MA=NA=20
Пошаговое объяснение:
1. Дочертим отрезок OK, получим два треугольника MON и MOK
так как касательная и радиус опущенный в точку касания перпендикулярны, треугольники являются прямоугольными.
Кроме того, они являются равными исходя из признака равенства прямоугольных треугольников по катету (ON=OK) и гипотенузе (OM)
Следовательно углы NMO и KMO равны.
В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, как видно ON=1/2 OM по условию, значит углы NMO и KMO по 30°, а NMK равен их сумме то есть 60°
2. Аналогично первому заданию
Дочертим отрезки OB и OA, получим два треугольника MOB и MOA
так как касательная и радиус опущенный в точку касания перпендикулярны, треугольники являются прямоугольными.
Кроме того, они являются равными исходя из признака равенства прямоугольных треугольников по катету (OB=OA) и гипотенузе (OM)
Следовательно углы BMO и AMO равны.
В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, как видно OB=1/2 OM, значит углы BMO и AMO по 30°, а AMB равен их сумме то есть 60°
3. Соединим О и B, в полученном треугольнике AOB, стороны OA и OB равны, как радиусы окружности, а AB=OA по условию, следовательно указанный треугольник равносторонний, имеет все углы по 180/3=60°
Угол OAC прямой, так как радиус опущенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Стало быть, угол BAC равен разности углов OAC и OAB:
90-60=30°
4. Соединим точки O и N, получим четырехугольник OMAN, его углы A прямой, M и N прямые, так как радиус опущенный в точку касания перпендикулярен касательной, а угол O равен 360-90-90-90=90°
получаем четырех угольник, с равными сторонами (OM=ON как радиусы), то есть квадрат.
Из чего ясно, что MA=NA=20.