Помогите пожалуйста 613. 617

Question

Дан 1 ответ

Nekit455_zn · Answer 1 · 2020-06-03T00:05:17+0000

613. Сторона правильного n-угольника равна a. Вычислите площадь описанного около него и вписанного в него круга, если n = 3; 4; 6

1) n = 3 - правильный треугольник.

Существует формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного треугольника:

a₃ = R√3

Так как нам сторона дана в буквенном значении, получаем

$\displaystyle\tt R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Найдем площадь описанной окружности из формулы

S = πR²

$\displaystyle\tt S_O=\pi\cdot\Big(\frac{a}{\sqrt{3}}\Big)^2=\frac{\pi a^2}{3}$

Для всех окружностей, вписанных в правильный n-угольник, формула нахождения их радиуса одинакова:

$\displaystyle\tt r=Rcos\frac{180^\circ}{n} \\\\\\r=\frac{a}{\sqrt{3}}cos\frac{180^\circ}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}} \cdot\frac{1}{2} =\frac{a}{2\sqrt{3}}$

Тогда площадь вписанной окружности равна

$\displaystyle\tt S_B=\pi\cdot\Big(\frac{a}{2\sqrt{3}}\Big)^2=\frac{\pi a^2}{12}$

$\displaystyle\tt OTBET:~S_O=\frac{\pi a^2}{3};~S_B=\frac{\pi a^2}{12}$

2) n = 4 - квадрат

Формула для нахождения радиуса описанной окружности около квадрата:

a₄ = R√2

$\displaystyle\tt R=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle\tt S_O=\pi\cdot\Big(\frac{a}{\sqrt{2}}\Big)^2=\frac{\pi a^2}{2}$

$\displaystyle\tt r=\frac{a}{\sqrt{2}}cos\frac{180^\circ}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{2}$

$\displaystyle\tt S_B=\pi\cdot\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=\frac{\pi a^2}{4}$

$\displaystyle\tt OTBET:~S_O=\frac{\pi a^2}{2};~S_B=\frac{\pi a^2}{4}$

3) n = 6 - правильный шестиугольник

Формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного шестиугольника:

a₆ = R

R = a

$\displaystyle\tt S_O=\pi a^2$

$\displaystyle\tt r=a\cdot cos\frac{180^\circ}{6}=a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle\tt S_B=\pi\cdot\Big(\frac{a\sqrt{3}}{2}\Big)^2=\frac{3\pi a^2}{4}$

$\displaystyle\tt OTBET:~S_O=\pi a^2;~S_B=\frac{3\pi a^2}{4}$

617. Вычислите площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, указанными в задаче 613

Решение:

1) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для правильного треугольника

Для этого вычтем из площади описанной окружности площадь вписанной

$\displaystyle\tt S_k=\frac{\pi a^2}{3} -\frac{\pi a^2}{12}=\frac{4\pi a^2-\pi a^2}{12} =\frac{3\pi a^2}{12}=\frac{\pi a^2}{4}$

2) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для квадрата

$\displaystyle\tt S_k=\frac{\pi a^2}{2}-\frac{\pi a^2}{4}=\frac{2\pi a^2-\pi a^2}{4} =\frac{\pi a^2}{4}$

3) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для правильного шестиугольника

$\displaystyle\tt S_k=\pi a^2-\frac{3\pi a^2}{4}=\frac{4\pi a^2-3\pi a^2}{4} =\frac{\pi a^2}{4}$