Первая производная отрицательная - функция убывает во всем интервале существования..
ДАНО: y(x) = x/(x-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения функции.
Не допускается деление на 0 в знаменателе.
х - 1 ≠ 0.
D(y) - X∈ (-∞;1)∪(1;+∞) -
2. Вертикальная асимптота - разрыв - при Х = 1.
3. Пересечение с осями координат.
С осью ОХ: Y=0 при Х = 0 - нуль функции.
С осью ОУ: y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: y(x)<0: X∈(0;1). </p>
Положительна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).
5. Проверка на чётность.
y(-x) = 2/(x+1) ≠ -у(х) ≠ у(х) - функция общего вида.
6. Первая производная - поиск экстремумов.
y'(x) = -2*x/(x-1)² + 2/(x-1) = -2/(x-1)² = 0
Корней нет. Разрыв при Х = 1.
7. Локальные экстремумы в точке разрыва..
Минимум: Ymin = y(→1-) = -∞.
Максимум: Ymax = y(→1+) = +∞
8. Интервалы монотонности.
Убывает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).
9. Вторая производная - поиск точек перегиба.
y"(x) = - 4/(x-1)³ = 0
Корней нет
10. Поведение функции.
Выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1).
Вогнутая - "ложка" - X∈(1;+∞)
11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.
k = lim(∞) Y(x)/x = 2/(x²-x) = 0.
b = lim(∞)Y(x) - k*x = 2
Горизонтальная асимптота: y = 2.
12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.
