Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции относятся как 3:4. Из...

Question

Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции относятся как 3:4. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка Н-основание высоты. Из точки Н опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка Е делит боковую сторону?

Answer 1

Пусть трапеция АВСD, СН перпендикулярно AD.

Обозначим AD = a, ВС = b; CD = c; CH = h, HD = x. 

Задано b/a =3/4;

Боковая сторона равна средней линии трапеции. Это - потому, что описанный четырехугольник, суммы противоположных сторон равны. c = (a + b)/2; 

Легко видеть, что x = (a - b)/2; (кто не видит - проведите высоту из В)

Еще легче увидеть, что h^2 = a*b (ну, из теоремы Пифагора) 

НЕ - высота в прямоугольном треугольнике СHD, поэтому она делит треугольник на два, ему же подобных. 

Если обозначить y = ED и z = CE, то

у/x = x/c; y = x^2/c;

z/h = h/c; z = h^2/c;

y/z = x^2/h^2 = (a - b)^2/(4*a*b) = (1 - b/a)^2/(4*b/a) = (1/4)^2/3 = 1/48

Мда, чего то мало получилось

 

А если так - пусть а = 8; b = 6; x = 1; c = 7; h = корень(48); ну, вобщем, не удивительно, действительно 1/48.