3.5*. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 − (cos2α − sin2α).

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle 1-(\cos2\alpha-\sin2\alpha)=1+\sin2\alpha-\cos2\alpha=1+\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2\alpha-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos2\alpha \right)=\\ \\ \\ =1+\sqrt{2}\left(\sin2\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\cos2\alpha\sin\frac{\pi}{4}\right)=1+\sqrt{2}\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$

Синус изменяется в пределах от -1 до 1, т.е. оценим в виде двойного неравенства выражение

$\displaystyle -1\leqslant \sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\leqslant 1\\ \\ -\sqrt{2}\leqslant\sqrt{2}\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\leqslant \sqrt{2}~~~~|+1\\ \\ 1-\sqrt{2}\leqslant 1+\sqrt{2}\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\leqslant 1+\sqrt{2}$

Наибольшее значение: 1 + √2.

Наименьшее значение: 1 - √2.