Нужно подробное решение правилом Лопиталя.

Решите задачу:

$\displaystyle\Large\lim_{x\to0}{x-\sin{x}\over x-tg{x}}=\lim_{x\to0} {1-\cos{x}\over 1-{1\over\cos^2{x}}}=\lim_{x\to0} {(1-\cos{x})\cdot\cos^2{x}\over \cos^2{x}-1}=\lim_{x\to0}{\cos^2{x}-\cos^3{x}\over\cos^2{x}-1}=\lim_{x\to0}{-2\cos{x}\sin{x}+3\cos^2{x}\sin{x}\over-2\cos{x}\sin{x}}=\lim_{x\to0}{2\cos{x}-3\cos^2{x}\over2\cos{x}}={2-3\over2}=-{1\over2}$