Решите уравнение:

$\frac{\sin x}{\sin 3x} + \frac{\sin 5x}{\sin x}=8\cos x \cos3x\; |\times \sin3x\sin x$ (А затем проверим теряем ли мы корни)

Получаем: $\sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=8\cos x\sin x\cos3x\sin3x \Leftrightarrow \sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=2\sin2x\sin6x$ ; Подберем такие a и b, что $\cos5x\sin3x=\cos a-\cos b$ ; Это легко сделать по формуле суммы косинусов. Получаем систему $\left \{ {{a+b=10x} \atop {b-a=6x}} \right. \Leftrightarrow b=8x,\; a=2x$ ; Аналогично делаем и в правой части уравнения. В итоге (после умножения на 2 обеих частей):

$2\sin^{2}x+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x \Leftrightarrow -\cos2x+1+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x$

Наконец, $1=2\cos4x-\cos8x$ ; Сделаем замену: $t=4x$

$1=\cos t-\cos2t \Leftrightarrow 1=\cos t-2\cos^{2}t+1 \Leftrightarrow \cos t(1-2\cos t)=0$ ; Сделав обратную замену, приходим к ответу: $\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\; k\in \mathbb{Z} \\\frac{\pi}{12}+\frac{\pi l}{2},\; l\in \mathbb{Z}\\\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$ . Краткая проверка показывает, что ни один из корней этих серий решений не удовлетворяет решениям $\sin3x\sin x =0$