Ответ:
для |x|>1 ряд ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1)) -расходится
для x∈ [-1;1) ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5,в частности для x=0,сумма равна 0 , для x=-1 сумма равна: 2ln(2) - 1.
для x=1 ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=1
Объяснение:
Очевидно, что для |x|>1
модуль общего член ряда : lim (n→∞) (x^(n+5)/(n*(n+1)) =[∞]
Вывод : ряд расходится.
Теперь рассмотрим основной случай:
x∈ [-1;1)
В этом случае преобразуем n-член ряда в виде:
x^(n+5)/(n*(n+1))= x^(n+5)* (1/n -1/(n+1) )= x^5* (x^n/n) -x^4* (x^(n+1)/(n+1))
Известное разложение в ряд :
ln(1+x)=∑(n=1;∞) ( (-1)^(n-1) *x^(n)/n) ) для x∈ (-1;1]
тогда:
ln(1-x)= ∑(n=1;∞) ( (-1)^(n-1) *(-x)^(n)/n) )=∑(n=1;∞) (-1)^(2n-1) *(x^n)/n) )=
-∑(n=1;∞) (x^n/n) для x∈[-1;1)
∑(n=1;∞) (x^n/n)=-ln(1-x)
∑(n=1;∞) (x^(n+1)/(n+1) )= ∑(n=1;∞) (x^n/n) -x=-ln(1-x) -x (поскольку, это тот же ряд что и ∑(n=1;∞) (x^n/n) ,только начинается со второго члена этого ряда, а первый член ряда : x^(1)/1=x)
Тогда:
∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=x^5*( -ln(1-x) ) -x^4*(-ln(1-x) -x) =
=-x^5*ln(1-x)+x^4*ln(1-x) +x^5= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5
∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5 ,при x∈ (-1;1]
Примечание: заметим ,что область сходимости ряда ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1)) такая же как и у ряда -∑(n=1;∞) (x^n/n)=ln(1-x) ,то есть x∈ x∈[-1;1) ( 1 не включается их за неопределенности значения ln(0) ) .
Действительно :
∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)* ∑(n=1;∞) ( - x^n/n) +x^5 ,тк x-константа не зависящая от n, то мы получили линейное преобразование ряда ∑(n=1;∞) ( - x^n/n) ,а следовательно области сходимости ряда не поменялась.
Ну а теперь особенный случай: x=1
Ряд принимает вид:
∑(n=1;∞) (1/n*(n+1) )=∑(n=1;∞) (1/n -1/(n+1) ) =(1-1/2) +(1/2-1/3) ...+(1/n -1/(n+1))
Очевидно ,что все члены кроме 1 и -1/(n+1) взаимно уничтожаются.
Таким образом эта сумма равносильна пределу:
∑(n=1;∞) (1/n*(n+1) )=lim (n→∞) (1-1/(n+1) ) = 1.