Ответ:
В этом предложении НЕТ обращений. Ни одного нет. Совсем нет...
Объяснение:
«Не прощай, а до свидания!» - строго попросил он , сунув мне крохотную узенькую ладошку и одобрив меня взглядом исподлобья.
Не прощай , а до свидания! - запятая ставится перед союзом А. Перед этим союзом она всегда ставится.
...строго попросил он , сунув мне крохотную узенькую ладошку.... - запятая выделяет обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.