составим характеристическое уравнение для линейного однородного диф. уравнения второго порядка.
к²+8к=0, к*(к+8)=0, откуда получаем два действительных корня 0 и 8
Общее решение однородного запишем в виде
у общ. однор. =с₁е⁰х+с₂е⁸ˣ
уобщ. однор. =с₁+с₂е⁸ˣ
Найдем теперь частное решение неоднородного, ищем его в виде
х(Ах +В)=Ах²+Вх, т.к. х=0 является корнем характеристического уравнения.
Находим первую и вторую производные и подставляем в исходное уравнение, для определения коэффициентов А и В
1 производная равна 2Ах+В, вторая производная равна 2А
Подставляем их в исходное уравнение, получаем 2А+16Ах +8В=2х, откуда А=1/8, тогда 2А+8В=0, 1/4=-8В, В =-1/32
Общее решение неоднородного состоит из суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного.
уч.н.= х²/8-х/32
Уо.н.=х²/8-х/32+с₁+с₂е⁸ˣ